特征方程：求解特征值

我们已经明确，对于一个特征向量 (vector) vvv，变换 AAA 仅通过其对应的特征值 λ\lambdaλ 对其进行缩放。这种关系由方程 Av=λvAv = \lambda vAv=λv 表述。虽然此方程完美描绘了特征值和特征向量的性质，但它并未直接指明如何针对给定矩阵 AAA 来求取它们。为此，我们需要一种代数方法，该方法始于重新整理这个基本方程。

我们的目标是求出使此方程对某个非零向量 vvv 成立的 λ\lambdaλ 值（即特征值）。我们首先将所有项移至方程的一侧：

Av−λv=0Av - \lambda v = 0Av−λv=0

乍看之下，我们似乎可以将向量 vvv 提取出来，但这里有一个小障碍。在项 AvAvAv 中，vvv 与矩阵 AAA 相乘，而在 λv\lambda vλv 中，它与标量 λ\lambdaλ 相乘。我们不能从矩阵中减去一个标量。为了解决这个问题，我们可以使用单位矩阵 III。回想一下，将任意向量 vvv 乘以单位矩阵 III 会使其保持不变，因此 v=Ivv = Ivv=Iv。我们可以将其代入我们的方程：

Av−λ(Iv)=0Av - \lambda(Iv) = 0Av−λ(Iv)=0

现在，两项都涉及矩阵与向量 vvv 相乘，这使得我们能够将 vvv 提取出来：

(A−λI)v=0(A - \lambda I)v = 0(A−λI)v=0

这个单一的方程提供了很多信息。它告诉我们，当我们将向量 vvv 乘以矩阵 (A−λI)(A - \lambda I)(A−λI) 时，结果是零向量。

求取非平凡解

方程 (A−λI)v=0(A - \lambda I)v = 0(A−λI)v=0 的一个显而易见的解是 平凡解，即 vvv 是零向量 (vector)。然而，特征向量的定义要求它是一个非零向量。毕竟，零向量的方向未定义，所以其方向在变换下保持不变的说法并没有太大用处。

这意味着我们正在寻找一个满足此方程的非零向量 vvv。形如 Mx=0Mx = 0Mx=0 的线性方程组仅当矩阵 MMM 奇异时才存在非零解 xxx。奇异矩阵是没有逆矩阵的矩阵。检查方阵是否奇异的一种便捷方法是计算其行列式。如果行列式为零，则该矩阵是奇异的。

将此应用于我们的情况，要使方程 (A−λI)v=0(A - \lambda I)v = 0(A−λI)v=0 存在非零解 vvv，矩阵 (A−λI)(A - \lambda I)(A−λI) 必须是奇异的。这直接引出了我们所需的条件：

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0det(A−λI)=0

此方程被称为矩阵 AAA 的特征方程。

从初始特征值定义推导特征方程的过程。

示例：计算特征值

我们来为一个简单的 2x2 矩阵求取特征值，以看特征方程如何运用。假设我们有矩阵 AAA：

A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}A=(21​12​)

步骤 1：构建矩阵 (A−λI)(A - \lambda I)(A−λI)

首先，我们从 AAA 中减去 λI\lambda IλI：

A−λI=(2112)−λ(1001)=(2−λ112−λ)A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}A−λI=(21​12​)−λ(10​01​)=(2−λ1​12−λ​)

步骤 2：计算行列式并将其设为零

接下来，我们求此新矩阵的行列式。对于一个 2x2 矩阵 (abcd)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}(ac​bd​)，其行列式为 ad−bcad - bcad−bc。

det⁡(A−λI)=(2−λ)(2−λ)−(1)(1)=0\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(2-\lambda) - (1)(1) = 0det(A−λI)=(2−λ)(2−λ)−(1)(1)=0

步骤 3：求解特征方程以求取 λ\lambdaλ

展开此方程会得到一个关于 λ\lambdaλ 的多项式，此多项式被称为特征多项式。

(4−4λ+λ2)−1=0(4 - 4\lambda + \lambda^2) - 1 = 0(4−4λ+λ2)−1=0

λ2−4λ+3=0\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0λ2−4λ+3=0

我们可以通过因式分解来求解这个二次方程：

(λ−3)(λ−1)=0(\lambda - 3)(\lambda - 1) = 0(λ−3)(λ−1)=0

这为我们提供了 λ\lambdaλ 的两个解。这些解即为矩阵 AAA 的特征值：

λ1=3,λ2=1\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1λ1​=3,λ2​=1

通过求解特征方程，我们成功求得了矩阵 AAA 的特征值。这些是矩阵 AAA 定义的线性变换的两个特殊缩放因子。下一步（我们将在稍后讲解）是将这些特征值中的每一个代回方程 (A−λI)v=0(A - \lambda I)v = 0(A−λI)v=0，以求取它们对应的特征向量 (vector)。